La façon la plus simple de faire d’un graphe fini connexe G un système dynamique est de lui donner une polarisation, c’est-à-dire un ordre cyclique des arêtes incidentes à chaque sommet. L’espace de phase $\mathcal {P}(G)$ d’un graphe consiste en toutes les paires $(v,e)$ où v est un sommet et e une arête incidente à v. Elle donne donc la position et le vecteur initiaux. Une telle condition est équivalente à une arête que l’on munit d’une orientation $e_{\mathcal O}$. Avec la polarisation, chaque donnée initiale mène à une marche à gauche en tournant à gauche à chaque sommet rencontré, ou en rebondissant s’il n’y a en ce sommet aucune autre arête. Une marche à gauche est appelée complète si elle couvre toutes les arêtes de G (pas nécessairement dans les deux sens). Nous définissons la valence d’un sommet comme le nombre d’arêtes adjacentes à ce sommet, et la valence d’un graphe comme étant la moyenne des valences de ses sommets. Dans cet article, nous démontrons que si un graphe plongé dans une surface orientée fermée de genre g possède une marche à gauche complète, alors sa valence est d’au plus $1 + \sqrt {6g+1}$. Nous prouvons de plus que ce résultat est optimal pour une infinité de genres g et qu’il est asymptotiquement optimal lorsque $g \to + \infty $. Cela mène à des obstructions pour les plongements de graphes sur une surface. Puisque vérifier si un graphe polarisé possède ou non une marche à gauche complète s’opère en temps au plus $4N$, où N est le nombre d’arêtes (il suffit de le vérifier sur les deux orientations d’une seule arête donnée), cette obstruction est particulièrement efficace. Ce problème trouve sa motivation dans ses conséquences intéressantes sur ce que nous appellerons ici l’ergodicité topologique d’un système conservatif, par exemple un système hamiltonien H en dimension deux où l’existence d’une marche complète à gauche correspond à une orbite du système topologiquement ergodique, donc une orbite qui visite toute la topologie de la surface. Nous nous limitons ici à la dimension $2$, mais une généralisation de cette théorie devrait tenir pour des systèmes hamiltoniens autonomes sur une variété symplectique de dimension arbitraire.

We prove lower bounds on the density of regular minimal cones of dimension less than seven provided the complements of the cones are topologically nontrivial.

We show that for $n \neq 1,4$, the simplicial volume of an inward tame triangulable open $n$-manifold $M$ with amenable fundamental group at infinity at each end is finite; moreover, we show that if also $\pi _1(M)$ is amenable, then the simplicial volume of $M$ vanishes. We show that the same result holds for finitely-many-ended triangulable manifolds which are simply connected at infinity.

We establish a straightforward estimate for the number of open sets with fundamental group constraints needed to cover the total space of fibrations. This leads to vanishing results for simplicial volume and minimal volume entropy, e.g., for certain mapping tori.

We define and study generalizations of simplicial volume over arbitrary seminormed rings with a focus on p-adic simplicial volumes. We investigate the dependence on the prime and establish homology bounds in terms of p-adic simplicial volumes. As the main examples, we compute the weightless and p-adic simplicial volumes of surfaces. This is based on an alternative way to calculate classical simplicial volume of surfaces without hyperbolic straightening and shows that surfaces satisfy mod p and p-adic approximation of simplicial volume.

Functorial semi-norms on singular homology give refined ‘size’ information on singular homology classes. A fundamental example is the ℓ1-semi-norm. We show that there exist finite functorial semi-norms on singular homology that are exotic in the sense that they are not carried by the ℓ1-semi-norm.

The aim of this note is to present a new, elementary proof of a result of Baas and Madsen on the mod p cohomology of certain quotients of the spectrum BP.

We prove that for a topological operad $P$ the operad of oriented cubical singular chains, $C_{*}^{^{\text{ord}}}(P)$ , and the operad of simplicial singular chains, ${{S}_{*}}(P)$ , are weakly equivalent. As a consequence, $C_{*}^{^{\text{ord}}}(P;\,\mathbb{Q})$ is formal if and only if ${{S}_{*}}(P;\,\mathbb{Q})$ is formal, thus linking together some formality results which are spread out in the literature. The proof is based on an acyclic models theorem for monoidal functors. We give different variants of the acyclic models theorem and apply the contravariant case to study the cohomology theories for simplicial sets defined by $R$ -simplicial differential graded algebras.

The cohomology algebra mod $p$ of the complex projective Stiefel manifolds is determined for all primes $p$ . When $p=2$ we also determine the action of the Steenrod algebra and apply this to the problem of existence of trivial subbundles of multiples of the canonical line bundle over a lens space with 2-torsion, obtaining optimal results in many cases.